|
|
עמוד:252
האם יש על ציר–המספרים נקודה המתאימה למספר ? 2 הפיתגוראים הציעו דרך למצוא את הנקודה הזו : הם בנו ריבוע שצלעו היא הקטע שבין 1–ל 0 על ציר–המספרים ( כלומר קטע שאורכו יחידה אחת , ( וסרטטו את האלכסון של הריבוע הזה . לאחר מכן הם הקצו על ציר–המספרים קטע באורך האלכסון הזה , מנקודת האפס , וקבעו בקצהו השני את הנקודה . P " הנקודה " P טענו הפיתגוראים , "היא הנקודה המתאימה למספר . " 2 הפיתגוראים ניסו למצוא מספר רציונלי שמתאים לנקודה , P כלומר מספר רציונלי השווה ל– . 2 22 א . נסו למצוא מספרים שלמים n–ו m כך ש– . m = 2 n הדרכה : נסו למצוא שני מספרים m ו– n כך . m = 2–ש n 2 ב . האם לדעתכם קיים מספר רציונלי השווה ל– ? 2 כאמור , זמן רב האמינו הפיתגוראים שלכל נקודה על ציר–המספרים מתאים מספר רציונלי . לתדהמתם , לנקודה המתאימה למספר 2 הם לא הצליחו למצוא מספר רציונלי מתאים . יתר על כן , הם אפילו הגיעו למסקנה שאין מספר רציונלי כזה ! ההוכחה שאכן קיימים מספרים שאינם רציונליים , כלומר קיימים מספרים שלא ניתן כלל לבטא אותם בצורת שבר , הופיעה רק מאתיים שנה מאוחר יותר , בספר המפורסם היסודות של המתמטיקאי היווני אוקלידס ( שחי בסוף המאה הרביעית ותחילת המאה השלישית לפני הספירה למניינם . ( כדי להוכיח שהמספר 2 אינו רציונלי השתמש אוקלידס בשיטת הוכחה הנקראת הוכחה על דרך השלילה . בשיטה זו מניחים שהטענה שרוצים להוכיח אינה נכונה , ואז , בעזרת הסקת מסקנות מההנחה הזו , מגיעים לסתירה . מסתירה זו נובע שההנחה ( שלפיה הטענה המקורית אינה נכונה ) הייתה הנחה מוטעית , כלומר הטענה המקורית חייבת להיות נכונה . שיטת הוכחה זו שימושית מאוד במקרים שבהם קשה או בלתי אפשרי להוכיח את הטענה המקורית בצורה ישירה .
|
|