|
|
עמוד:27
לכן , לפי משפט הסכום , . 1 = P ( D ) = P ( A uA ) = P ( A ) + P ( A ) מכאן , באמצעות החסרת P ( A ) משני האגפים , מתקבל הכלל האמור . דוגמה = אם ההסתברות שירד שלג היא , 0 . 23 אז ההסתברות שלא ירד שלג היא . 0 . 77 הכללה של כלל הסכום ( ושל ההוכחה שלו ) למקרה של מאורעות שהם לאו-דווקא זרים , תוביל לכלל הבא : כלל האיחוד : לכל שני מאורעות P ( AuB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AnB ) , B-1 A הוכחה = בהוכחת משפט הסכום ראינו , 11 nvvy B- ? A זרים , הסכום P ( A ) + P ( B ) הוא סכום ההסתברויות של איברי A ושל איברי , B ושגם P ( AuB ) הוא הסכום של אותן הסתברויות עצמן . כאשר \ -ל יש איברים משותפים עם B שוב אין זה נכון , כי ההסתברות של כל אחד מהאיברים המשותפים תופיע בביטוי P ( A ) + P ( B ) . פעמיים , ואילו בביטוי ?(^ ' 8 ) היא תופיע רק פעם אחת . לכן , כדי לקבל את P ( AuB ) יש לחסר מהסכום DVDP ( A ) + P ( B ) אחת את ההסתברות של כל איבר משותף , כלומר את ההסתברות של P ( AnB ) ( ראו ציור . ( הוכחה בכתיב מתמטי = P ( A ) = p ( AnB ) + P ( A n B ) P ( B ) = P ( A n B ) + P ( A n B ) ומכאן : P ( A ) + P ( B ) = P ( A n B ) + P ( A nB ) + P ( A n B ) + P ( A n B ) וכיוון ש- , P ( A n B ) + P ( A nB ) + P ( A n 3 ) = P ( A U B ) נקבל : . P ( A ) + P ( B ) = P ( A U B ) + P ( A n B ) דוגמה : באולם קולנוע ניתנת הנחה לסטודנטים ולחיילים . ההסתברות שהכרטיס הראשון שיימכר מחר יימכר לסטודנט היא , 0 . 1 ההסתברות שיימכר לחייל היא , 0 . 05 וההסתברות שיימכר לסטודנט חייל היא ; 0 . 001 אם כך , ההסתברות שהכרטיס המדובר יהיה כרטיס הנחה היא . 0 . 1 + 0 . 05 -0 . 001 = 0 . 149
|
|