|
|
עמוד:43
3 . 3 נוסחת המכפלה לעתים P ( A ) וגם P ( B ) ידועים , ואנו מבקשים לדעת את , P ( AnB ) ההסתברות של המשותף . דוגמה : בין המועמדים למשלחת תלמידים לחו"ל מטעם משרד החוץ 400 / 0 , הם דוברי אנגלית שוטפת . - מבין דוברי האנגלית השוטפת הם חברי תנועת נוער . למשלחת מתקבלים רק תלמידים שהם גם 8 דוברי אנגלית שוטפת וגם חברי תנועת נוער . נבחר באקראי תלמיד אחד מבין המועמדים . מהי ההסתברות שבחרנו תלמיד שמקיים את שני התנאים ? נסמן A-J את המאורע "התלמיד דובר אנגלית שוטפת , " וב8- את המאורע "התלמיד חבר בתנועת נוער" אנו מחפשים את . P ( A n B ) לפי נתוני הבעיה , , P ( A ) = 0 . 4 ו- . P ( B / A ) = - 8 אם נשתמש בנוסחת ההסתברות המותנית P ( B / A ) = P ( BnA )/ P ( A ) נקבל : 5 _ P ( A n B ) = = P ( A > n = B ) 0 . 4- ^ = 0 . 25 8 0 . 4 8 מדוגמה זו רואים שלמושג ההסתברות המותנית P ( B / A ) יש שימוש גם במצבים שבהם P ( B ) אינו ידוע , אך בידינו נתון שמתאר סבירות אחרת , הסבירות שיקרה B אם יקרה A הנוסחה ששימשה במקרה זה למציאת הסתברותו של B בתנאי שמתקיים A נקראת נוסחת המכפלה , והיא מסקנה מיידית מהגדרת ההסתברות המותנית ? נוסחת המכפלה P ( AnB ) = P ( A ) P ( B / A ) , נוסחה זו ניתנת להכללה גם לשלושה מאורעות או יותר ו P ( B / A ) P ( C / AnB ) P ( AnBnC ) = P ( A )• P ( An / A , nA n ... nAn ., ) ... P ( A 2 / A , ) P ( A 1 nA n ... nAn ) = P ( A , ) דוגמה : מה ההסתברות שבכיתה שבה 30 תלמידים יהיו לפחות 2 תלמידים בעלי יום הולדת משותף ? לפני החישוב נסו לנחש את התשובה ! פתרון : פשוט יותר לבדוק מהי ההסתברות של המאורע המשלים , שהוא : לכל התלמידים ימי הולדת שונים . ניקח תלמיד ראשון . יום הולדתו יכול להיות כלשהו . ניקח תלמיד שני . ההסתברות שיום הולדתו שונה מיום הולדתו של הראשון היא . 364 / 365 ניקח תלמיד שלישי . ההסתברות שיום הולדתו של השלישי שונה משני ימי ההולדת הראשונים היא . 363 / 365 באותו אופן נמשיך עד לתלמיד . 30-ה ההסתברות שיום הולדתו שונה מזה של 29 התלמידים הקודמים היא : . 336 / 365 לפי נוסחת המכפלה , ההסתברות לימי הולדת שונים היא י 29 364-363-362- ... 336 / 365 = 0 . 294 ומכאן שההסתברות שלפחות לשני תלמידים בכיתה יום הולדת משותף היא ו 1-0 . 294 = 0 . 706 = 70 . 6 ° / 0 אנשים מופתעים בדרך-כלל מהתשובה הזו . בדקו מה המצב בכיתתכם !
|
|