|
|
עמוד:28
2 . 6 משפט הסכום ליותר משני מאורעות יהיו נתונים כמה מאורעות , ... ס . A , B , C , ננסה להבין באילו נתונים מתקיימת הטענה ! P ( AuBuCuDu ... ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) + P ( D ) + .... כשמספר המאורעות הוא שניים , למדנו שהתנאי לכך הוא שהמאורעות זרים , כלומר שאין תוצאה הכלולה בשניהם . כאשר מדובר בשלושה מאורעות או יותר , דרישה זו אינה מספיקה . לשלושת המאורעות שבציור , למשל , אין תוצאה משותפת ! אולם אם ההסתברות של כל אחת מהתוצאות ( מסומנות ^ -ב בציור , ( היא , 1 / 12 אז P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) = 6 / 12 + 5 / 12 + 3 / 12 > 1 ולעומת זאת . P ( AuBuC ) = 1 קל לראות שהמשפט הנכון הוא זה : משפט : אם כל שני מאורעות בסדרת המאורעות A 1 , A , ... , An הם זרים , אז P ( A ! uA u ... An ) = P ( A , ) + P ( A 2 ) ... P ( An ) כמסקנה ממשפט הסכום נקבל גם את המשפט הבא : אם איחודם של כל המאורעות בסדרה A :, A , ... , A הוא , Q וכל שני מאורעות בסדרה הם זרים , אז לכל " מאורע B מתקיים : P ( B ) = P ( A ! nB ) + ... + P ( A nB ) הוכחה : נראה תחילה שבסדרה A | 0 B , ... , A nB כל שני מאורעות הם זרים . ואמנם , אילו הייתה ל- A | 0 B ול-A nB תוצאה משותפת , אותה תוצאה הייתה משותפת גם ל- A , ול- , A בניגוד לנתון ש- A , ו- A 2 זרים ; וכך לכל זוג מאורעות בסדרה . כעת נראה B-v הוא איחוד המאורעות בסדרה . ואמנם , ( A , nB ) u ( A nB ) u ... ( A nB ) = ( A , uA u ... An ) nB = QnB = B ropnnm המבוקשת נובעת כעת ממשפט הסכום . דוגמה : נבחר באקראי אחד מתושבי אירופה . יהי B המאורע "גילו של הנבחר עולה על . " 50 אם נסמן ב- Ai את המאורע "הנבחר הוא תושב ארץ "i ( ברשימה ממוספרת של ארצות אירופה , ( אז הנוסחה שראינו מתארת את ההסתברות של B כסכום ההסתברויות של כל המאורעות "הנבחר הוא צרפתי מעל גיל , " 50 " הנבחר הוא פיני מעל גיל " 50 ופו . '
|
|