|
|
עמוד:234
הוכחה במשולש ABC נתונות הצלעות b ו- c והזווית a הכלואה ביניהן . צריך להביע באמצעות הנתונים את הצלע . a נוריד את הגובה BD לצלע . AC במשולש sina = - - ABD ולכן BD = c sina c בנוסף . DC = b- c cosa / 23 ( , 7 / AD = c cosa p > 7 cosa = - - c כעת נסתכל במשולש BDC ונחשב בו את BC = a באמצעות משפט פיתגורס . 2 2 2 a = BD + DC = 2 2 2 2 2 2 2 2 = c sin a + ( b - c cosa ) = c sin a + b - 2 bc cosa + c cos a = 2 2 2 2 = b + c ( sin a + cos a ) - 2 bc cosa = 2 2 . = b + c - 2 bc cosa שני השוויונים האחרים המופיעים במשפט הקוסינוס מוכחים בדרך דומה . מקרים פרטיים של משפט הקוסינוס א . אס , a = — כלומר אם המשולש הוא ישר זווית , אז cosa = 0 2 2 2 ומקבלים . a = b + c 1 משפט הקוסינוס הוא איפוא הכללה של משפט פיתגורס . ב . nipvj . a = 0 זה המשולש הוא מנוון ובו a = b- c או , a - c - b ראו את שתי האפשרויות בסרטוטים להלן . בתבנית אחת אפשר לרשום : . a = b-c 2 2 2 ואמנם a = O DN אז cosa = 1 וממשפט הקוסינוס מתקבל a = b + c - 2 bc או 2 2 a = ( b - c ) = > a = | b-c לא יהיה נכון לומר , כי ממשפט הקוסינוס מקבלים הוכחה חדשה למשפט פיתגורס , כי בהוכחתו ניצלנו את משפט פיתגורס , הן בצורה , sirrcc + ca > < ~ a = 1 והן בנוסחת בחישוב הצלע ן ; במשולש . BDC
|
|