|
|
עמוד:209
( x , + x 2 ) = 2 - 2 cos ( x 1 + x 2 ) ~( XI + X 2 ) - 2 cos ( X | + x 2 ) + 1 + sin עתה נבנה מערכת צירים חדשה כך שציר ה- X יעבור דרך הקטע 0 B ( ראה סרטוט . ( נחשב את שיעורי הנקודות C , B , A במערכת הצירים החדשה שיעורי הנקודה B הם ( 1 , 0 ) כי B היא נקודת החיתוך של מעגל המספרים וציר . X-r \ הנקודה C מתאימה למספר * 2 ( כי אורך הקשת BC הוא ( x 2 , לכן שיעוריה הם . ( cos x , sin x 2 ) הנקודה A מתאימה למספר xi ( כי אורך הקשת AB הוא - { c לכן שיעוריה הס . ( cos ( -X ]) , sin ( -xi )) נבטא את אורך הקטע AC באמצעות שיעורי הנקודות במערכת צירים זו 1 2 2 2 ( Q AC = ( cos x - cos ( -X 1 )) + ( sin x 2 - sin ( -xi )) פונקצית הקוסינוס היא זוגית לכן . cos ( -xi ) = cos \ \ פונקצית הסינוס היא אי-זוגית לכן . sin ( -x , ) = sin \ \ 2 2 נציב ביטויים אלה בתבנית , ( 0 ונפשט אותה תוך שימוש בזהות : sin x + cos x = 1 2 2 2 AC = ( cos x - cos X 1 ) + ( sin x 2 + sin X 1 ) = 2 sin X | sin x - 2 cos X | cos x 2 + 2 אורך הקטע AC איננו תלוי במערכת הצירים . נשווה את שתי התוצאות שקיבלנו ' 2 sin xi sin X 2 - 2 cos X | cos X 2 + 2 = 2 - 2 cos ( x 1 + X 2 ) ונקבל cos ( x 1 + x 2 ) = cos Xi cos X 2 - sin X | sin x 2 שוויון זה נכון לכל xi ולכל x ? כי ההוכחה לא ניצלה שום מגבלות על ערכים אלה . משוויון זה מקבלים כי COS ( - X 2 ) = cos X | cos X 2 + sin X | sin X 2 כדי להוכיח את השוויון האחרון יש לשים לב כי אפשר לרשום את xi - x 2 בצורה ו X | - X 2 = X 1 + ( -X 2 ) הציבו זדו x , + ut בתבנית המתאימה ל- , cos ( x , + x 2 ) היעזרו בתכונות הזוגיות של הקוסינוס והאי-זוגיות של הסינוס , והשלימו את הוכחת הנוסחה . כאשר xi = x 2 = x מקבלים cos 2 x = cos x - sin x
|
|