|
|
עמוד:117
הערה : אפשר היה לראות שהמחזור איננו — כי השוויון sin 2 x — + = sin 2 x איננו מתקיים לכל x כי כידוע . sin x 2 + ~ = sin ( 2 x + 71 ) = sin 2 x הנה גרף הפונקציה y = sin 2 x בתחום [ 0 , 271 ] כפי שמתקבל בעזרת מחשב . הקו המודגש הוא גרף הפונקציה . y = sin x מהסרטוט רואים כי מחזור הפונקציה y = sin 2 x הוא . 71 ואמנם . sin 2 ( x + n ) = sin ( 2 x 4- 27 t ) = sin 2 x מהשוויון sin 2 ( x + 71 ) = sin ( 2 x + 27 c ) = sin 2 \ ראינו כי מחזור של sin 2 x הוא קטן או שווה . 71-ל להלן נציג דרך נוספת להוכחת העובדה שהמחזור הוא בדיוק . 71 דרך זו איננה מסתמכת על בדיקה של ערכי הפונקציה בנקודות מסוימות אלא על אורך המחזור של sin \ ומרמזת על דרך כללית למציאת המחזור של פונקציות מחזוריות . שאלה * נמקו מדוע המחזור a של הפונקציה sin 2 \ אינו יכול להיות קטן . n-a תשובה : נניח בשלילה כי 0 < a < 71 ולכל x מתקיים sin [ 2 ( x + a )] = sin ( 2 x + 2 a ) = sin 2 x נציב בשוויון האחרון z = 2 x ונקבל . sin ( z + 2 a ) = sin z הפונקציה y = sin z מוגדרת לכל המספרים ( כי {^ = 2 x היא מחזורית ובעלת מחזור . 271 לפיכך 2 a > 271 או a > 71 בסתירה להנחה . מכאן . a > 7 c נחזור ונסכם ' מכיוון שהמחזור a של הפונקציה sin 2 \ אינו יכול להיות קטן 7 :-מ והיות ש- sin [ 2 ( x + 71 )] = sin 2 \ מקבלים מיד כי המחזור של הפונקציה y = sin 2 \ הוא בדיוק . 7 t בסרטוט הבא מוצגות הפונקציות y = sin x ו- y = sin 2 x באותה מערכת צירים , . ( vyynn ipn sin x ) -27 t < x < 271 oinro
|
|