|
|
עמוד:363
12 . 1 פונקצית השטח ונגזרתה אנו מכירים בגיאומטריה תבניות לחישוב שטחים של כמה צורות יסוד , כגון ו מלבנים , משולשים , מקביליות , עיגולים וכוי . בעזרתן מוצאים גם שטחים של צורות אחרות בדרך של חלוקה למשולשים או לצורות יסודיות אחרות . כבר בזמן העתיק היו מתמטיקאים שידעו לחשב את גודלם של שטחים אלה . בתקופת יוון עתיקה עלתה בעיית חישוב שטחים של צורות שלא ניתן לחלק אותן לצורות יסוד . המדען היווני ארכימדס ( המאה השלישית לפנה"ס ) הצליח לחשב שטחים החסומים בכרבולות בעזרת שיטה הנקראת שיטת המיצוי . השיטה הזאת והשיטות שבאו בעקבותיה לא היו שיטות כלליות , וכל חישוב דרש פיתוח נוסחאות מיוחדות ושימוש בתכונות ייחודיות של כל צורה . רק במאה 17-ה פרץ המחקר בתחום זה דרך לפתרון כללי של בעיית השטח . שני המדענים אייזק ניוטון ( 1727-1642 ) וגוטפריד וילהלס לייבניץ ( 1716-1646 ) גילו ( כל אחד באופן עצמאי ) שניתן לחשב שטח בתהליך הפוך לזה של גזירה . שניהם נחשבים כמניחי היסוד לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי . נכיר את השיטה האנליטית לחישוב השטח באופן אינטואיטיבי ( הוכחה פורמלית של השיטה חורגת ממסגרת הנלמד בספר ) . תחילה נתמקד בבעיה הבאה . נתונה פונקציה אי-שלילית ( כלומר , ( f ( x ) > 0 ורציפה בקטע [ a , b ] ( כאן נסתפק בכך שנאמר כי פונקציה היא רציפה אם אפשר לשרטט את הגרף שלה בלי להרים את העיפרון מהנייר . ( המטרה היא לחשב את שטח S המוגבל על ידי גרף הפונקציה , f הקטע [ a , b ] שעל ציר ה ^ ושני מקבילים לציר ה-ץ , כאשר אחד מהם עובר דרך הנקודה ( a , 0 ) והשני עובר דרך הנקודה M ) לשם כך לא נגביל את עצמנו למקרה שבו רק : 12 האינטגרל המסוים הנושאים בפרק
|
|