|
|
עמוד:187
7 , 2 הנגזרת של הפונקציה המורכבת בסעיף זה נלמד כיצד לגזור פונקציה מורכבת . בפרקים הקודמים ראינו כי אפשר היה להביע את הנגזרות של מכפלת פונקציות ומנה של פונקציות בעזרת הפונקציות המרכיבות את המכפלה או את המנה . יש לשער כי גם את הנגזרת של הפונקציה המורכבת אפשר להביע באמצעות הנגזרות של הפונקציות המרכיבות אותה . מהו הקשר בין נגזרת הפונקציה המורכבת ובין נגזרות רכיביה ? נבחן תחילה כמה דוגמאות . דוגמאות 3 ? א . נתונה הפונקציה k ( x ) - u [ v ( x )] = 1- ^ אשר רכיביה הם . v ( x ) = x , u ( v ) = 1- v 2 k' ( x ) = 3 x נגזור בנפרד את k ואת שני רכיביה , , = 2 u' ( v ) = l v' ( x ) = 3 x רואים כי קיים קשר בין נגזרת הפונקציה המורכבת ובין נגזרות רכיביה : k ' ( x ) = u ' ( v ) -v ' ( x ) 2 3 3 2 ב . הפונקציה k ( x ) = u [ v ( x )] = ( x - 2 ) מורכבת מהפונקציות v ( x ) = x - 2 ו- u ( v ) = v 6 3 3 2 כדי לגזור את k ( x ) נחשב את ( x - 2 ) ונגזור את הפולינום המתקבל . k ( x ) = x - 4 x + 4 5 2 מקבלים : k . ' ( x ) 6 x = 12 x 3 2 הנגזרות של רכיבי הפונקציה הן u' ( v ) = 2 v = 2 ( x - 2 ) , v' ( x ) = 3 x \ כדי לראות את הקשר בין נגזרת הפונקציה לנגזרות רכיביה נרשום את k' ( x ) באופן הבא ו 5 2 2 3 3 2 k' ( x ) = 6 x -12 x = 6 x ( x -2 ) = 2 ( x -2 ) - 3 x כלומר : k' ( x ) = u' ( v ) -v ' ( x ) דוגמאות אלה מובילות אותנו לשער את המשפט הבא : משפט : אם f ( x ) = v [ u ( x )] אז ( ג ) u' v ( x ) = v' ( u ) משפט זה ידוע בשם כלל השרשרת ( בהמשך נבין את מקור השם . ( נראה עתה כיצד לגזור פונקציות מורכבות בעזרת כלל השרשרת טרם הוכחתו . דוגמאות א . נוח להשתמש בכלל השרשרת כדי לחשב נגזרת של פונקציה שאפשר לגזור אותה באופן ישיר , על פי הכללים שכבר למדנו , אבל תהליך הבאת הפונקציה לצורה התקנית של פולינום n anx + an-1 xn _ 1 + ... + a 1 x + a 0 הוא ארוך ומסורבל . 3 8 לדוגמה : f ( x ) = ( x -2 x + l )
|
|