|
|
עמוד:337
עליי כן . p x -iy dx = . ^^ + c : 8 3 \ ב . מצאו את . Jcos 5 x < ix : האינטגרנד הוא פונקציה מורכבת כאשר הפונקציה הפנימית שלה היא , M ( JC ) = 5 x והפונקציה החיצונית שלה היא . f ( u ) = cosu הפונקציה הקדומה של הפונקציה החיצונית היא . F ( u ) = sinw אבל אם גוזרים , sin 5 x מקבלים COS 5 JC 1 . 5 לכן כדי לקבל את הפונקציה הקדומה של , cos 5 x יש לחלק את sin 5 x ב- . 5 מכאן : sin 5 x + C . [ cos 5 xdx = — בכל הדוגמאות האלה האינטגרנד הוא פונקציה מורכבת מהצורה , f ( ax + b ) כאשר / היא פונקציה חיצונית ax + b , היא פונקציה פנימית . רואים כי אם מכירים את הפונקציה הקדומה של , / אזי קל למצוא את . \ f ( ax + b ) dx באופן כללי מתקיים המשפט הבא . משפט אם F היא פונקציה קדומה של / ו- , a * 0 אזי ? . j /( ax + b ) dx = - ? F ( ax + b ) + C הוכחת משפט לפי הנתון : . F' ( x ) = f ( x ) נראה על ידי גזירה כי — ? F ( ax + b ) היא פונקציה קדומה של . f ( ax + b ) a לשם כך נשתמש בנוסחת הנגזרת של פונקציה מורכבת ( כלל שרשרת , ( כאשר הפונקציה הפנימית היא , u ( x ) = ax + b הפונקציה החיצונית היא , f ( u ) וידוע כי . F ' ( u ) = f ( u ) ( - ? F ( ax + b ) \ = \ --F ( u ( x )) =--F' ( u ) -u ' ( x ) = -f ( u ) - ( ax + b ) ' = [ a 1 J \ a a = ± . f ( u ) -a = f ( u ) = f ( ax + b ) a המשפט הוכח . דוגמאות l . l = ^ ± ^ + C = - 2 — + C . 1 ^ \^~^ dx = f ( 5 x + 7 ) ( 5 x + 7 ) J 5 2 10 ( 5 x + 7 )
|
|