|
|
עמוד:218
3 ב . הוכיחו כי ערכה המוחלט של הפונקציה f ( x ) = 24 x-2 x אינו גדול מ- 32 לכל * בתחום .-4 < x < 4 פתרון : יש להוכיח כי .-32 < 24 x - 2 ^ < 32 לשם כך צריך לחשב את הערך המקסימלי 3 והמינימלי של הפונקציה f ( x ) = 24 x-2 x בתחום הנתון . להראות שהערך המקסימלי ( המוחלט ) של הפונקציה אינו גדול מ- , 32 וכי הערך המינימלי ( המוחלט ) שלה אינו קטן מ- .-32 נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה . נקודות האפס של הנגזרת הן אלו ו הנגזרת השנייה ו לכן לפונקציה יש מינימום בנקודה x = 2 ומקסימום כאשר . x = 2 מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות אלה ומקבלים כי לפונקציה יש מינימום בנקודה ( -2 , 32 ) ומקסימום ב- . ( 2 , 32 ) כדי לסיים את ההוכחה יש להראות כי אלה נקודות מינימום ומקסימום מוחלטים . נזכור כי לפונקציה רציפה המוגדרת בקטע סגור יש תמיד מינימום ומקסימום מוחלטים המתקבלים בנקודות הקיצון המקומי או בקצות התחום . נבדוק את ערך הפונקציה הנתונה בקצוות ? . 3 f ( -4 ) = 24- ( -4 ) -2- ( - 4 ) = -96 + 128 = 32 3 f ( 4 ) = 24-4-2-4 = 96-128 = -32 מכאן נובע כי הערך הגדול ביותר של הפונקציה הנתונה בתחום הנדון הוא 32 ( ערך זה מתקבל בנקודת המקסימום המקומי x = 2 וגם בקצה השמאלי של ' התחום , ( x = 4 והערך הקטן ביותר הוא 32 ( מתקבל בנקודת המינימום המקומי x = 2 ובקצה הימני של התחום . ( x = 4 32 < f ( x )< 32 p > לכל .-A < x < A סרטוט של גרף הפונקציה ממחיש זאת . ג . ממוט ברזל שאורכו 60 ס"מ מכינים שלד של תיבה שבטיסה ריבוע . מה צריכים להיות ממדי התיבה כדי שנפחה יהיה מקסימלי ? פתרון : המטרה היא לרשום פונקציה שתתאר את נפח התיבה במונחים של אחד ממקצועותיה ולמצוא את המקסימום של פונקציה at מסמנים ב- x את אורך מקצוע הבסיס וב- h את גובה התיבה . לתיבה יש שמונה מקצועות בסיס , שאורך כל אחד מהם הוא , x וארבעה מקצועות צדדיים שאורכם . h לכן = 8 x + 4 h = 60 = > h = 15-2 x נפח התיבה שווה למכפלת שטח הבסיס והגובה : 2 2 2 3 V ( X ) = x -h = x ( 15-2 x ) = 15 x -2 x
|
|