|
|
עמוד:188
3 אמנם אפשר להעלות את הביטוי x - 2 x + 1 בחזקת 8 ואז לגזור את הפולינום המתקבל , אך דרך זו ארוכה ומייגעת . לכן רצוי לטפל בפונקציה זו כפונקציה מורכבת . מציגים את הפונקציה v ( u ) = u 8 , u ( x ) = x 2 x + l " : ) , f ( x ) = v [ u ( x )] mm 7 3 7 2 וגוזרים את שני הרכיבים v' ( u ) = 8 u = 8- ( x -2 x + l ) , u' ( x ) = 3 x -2 3 7 2 לפי כלל השרשרת : •( 3 x -2 ) f' ( x ) = v' ( u ) -u ' ( x ) = 8- ( x -2 x + l ) ב . בעזרת כלל השרשרת אפשר לגזור פונקציות שעד עתה לא יכולנו לגזור . 2 למשל , h ( x ) = sin ( x -l ) 2 נרשום h ( x ) = v [ u ( x )] כאשר u ( x ) = x - 1 , v ( u ) = sin u לכן לפי כלל השרשרת : u' ( x ) . h' ( x ) = v' ( u ) 2 נגזור את הרכיבים : u' ( x ) = 2 x , v' ( u ) = cos u = cos ( x -1 ) ) שימו לב , הצבנו u = x - 1 כי המשתנה של הפונקציה הנתונה הוא ( . x 2 לכן h' ( x ) = cos ( x -l ) - 2 x 2 ג . p ( x ) = sin x- 1 2 נציג את הפונקציה בצורה p ( x ) = v [ u ( x )] כאשר v ( u ) = u - 1 , u ( x ) = sin x v' ( u ) = 2 u = 2 sin x , u' ( x ) = cos x לכן cos * h' ( x ) = 2 sin x 2 להלן הוכחה לכלל השרשרת הנגזרת של פונקציה f ( x ) היא הגבול של מנת ההפרשים ^ 1 י f ( x ) = 1 im < x + h- > 0 h 3 במקום האות h נסמן את התוספת למשתנה * על ידי . Ax תוספת Ax למשתנה x מביאה לשינוי של Af = f ( x + Ax ) -f ( x ) : fn ^ py ^ iAf בסימונים אלה הנגזרת היא : f ' ( x ) = lim — Ax- > 0 Ax נתון כי f ( x ) היא הפונקציה המורכבת f ( x ) = v [ u ( x )] שינוי קטן של Ax במשתנה x מביא לשינוי של Au בפונקציה . u שינוי זה יוצר שינוי של Av בפונקציה . v קיים . Af = Av בהנחה ש- Ax ו- Au שונים מאפס נוכל לרשום — = — . — Ax Au Ax 2 ההוכחה אינה הוכחה מלאה , אך היא מסבירה באופן כללי את כלל השרשרת . 3 האות היוונית הגדולה A ( קרי ! דלתה ) משמשת קיצור למילה = ) difference הפרש ) והיא מסמנת את התוספת למשתנה הכתוב לידה . סימון זה מאפשר להבחין בבירור בין התוספות למשתנים השונים .
|
|