|
|
עמוד:151
לפני סרטוט הגרף נבנה טבלת ערכים שבה נרכז את כל המידע שבידנו . בנוסף לכך בכל ענף נבחר שתי נקודות ונחשב בהן את ערכי הפונקציה . עתה כבר אפשר לסרטט את הגרף . הערה בחקירת הפונקציה אמרנו כי היות שהנגזרת שלילית , הפונקציה יורדת בכל ענף שבה היא מוגדרת . אפשר היה גם לומר שהפונקציה יורדת בכל נקודה בתחום , כי בכל נקודה הנגזרת היא שלילית . חשוב לשים לב לדיוק שבניסוח זה . אי אפשר לומר כי הפונקציה יורדת בכל התחום , ולהלן ההסבר . הגדרנו כי פונקציה f ( x ) עולה בתהום אם לגל שתי נקודות בתחום קיים I f ( x , )> f ( x 2 ) ( * . >* 2 2 לדוגמה הפונקציה f ( x ) = x ע ? לה עבור ^ > 0 כי לכל > \> 0 קיים , x . > x 2 ^ כלומר . f ( x , )> f ( x 2 ) עלייה בנקודה היא תכונה מקומית של הפונקציה : g ( x ) עולה בנקודה x 0 אם קיימת סביבה של שבה לכל x < x 0 ON , x אז , g ( x ) < g ( x 0 ) ואם * > אז . g ( x ) > g ( x 0 ) ^ ^ שימו לב = ההגדרה אינה תלויה בנגזרת , אך אם הנגזרת חיובית הפונקציה עולה . ברור כי אם פונקציה עולה בכל תחום הגדרתה , היא עולה בכל נקודה ונקודה ( כי התחום כולו יכול לשמש כסביבה של כל אחת מנקודותיו . ( אבל ההפך אינו נכון . ייתכן שפונקציה עולה בכל אחת מנקודותיה , אבל אינה עולה בתחום כולו . לדוגמה הפונקציה g ( x ) = -- עולה בכל נקודה בתחום הגדרתה , ובכל זאת g ( x ) לא עולה בכל התחום . רואים את זה גם מכך שלכל x * 0 הנגזרת חיובית . g' ( x ) = — > 0 X כדי להראות שהפונקציה אינה עולה בכל התחום מספיקה דוגמה נגדית אחת . ואמנם 3 > 2 אבל , - < - כלומר g ( 3 ) < g ( - 2 ) למרות ש- . 3 > 2 באופן אנלוגי הדברים נכונים גם לגבי פונקציה יורדת .
|
|