|
|
עמוד:144
3 2 3 2 4 x -3 x + 2 x-l 4 x -3 x + 2 x-l דוגמה הי : נתבונן בפונקציה f ( x ) = 2 3 2 ( 3 x + 2 )( x -l ) 3 x -3 x + 2 x-2 נקודת האפס היחידה של המכנה היא . ^ = 1 ( מדוע (? המונה שונה מ- 0 עבור , x = 1 לכן הישר x = 1 הוא אסימפטוטה אנכית . כדי למצוא את הגבול שאליו שואפת הפונקציה כאשר x > ± 00 לא מספיק לחלק את המונה ואת 3 המכנה ב ^ וגם לא כ . , ^ - כי עדיין הם ישאפו 00-ל בערכם המוחלט , על כן נחלק אותם ב- x שהיא החזקה הגבוהה ביותר שלהם ו מכאן נובע כי הישר y = - הוא אסימפטוטה אופקית של 3 הפונקציה . בדוגמאות שראינו עד כה היו הפולינומים במכנה ובמונה מאותה מעלה . בכל המקרים ראינו כי יש לפונקציה אסימפטוטה אופקית . אם נסמן a-1 את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר במונה , ובb את המקדם של החזקה המרבית במכנה , כי אז משוואת האסימפטוטה האופקית היא . y = — b דבר זה נובע מכך שכאשר מחלקים את המונה ואת המכנה ב- x בחזקת מעלת הפולינום , המחוברים המכילים את x בחזקה המקסימלית מצטמצמים ונשארים רק המקדמים שלהם . בשאר המחוברים מתקבלת מנה עם מונה קבוע ומכנה שהוא חזקה של . x לכן כאשר x > ± 00 כל שאר המחוברים שואפים ל- . 0 מכיוון שבמונה נשאר רק a ובמכנה רק b הפונקציה שואפת . —ל b ' 5 4 x -2 x + 3 x-9 דוגמה וי : נמצא אסימפטוטה אופקית לפונקציה f ( x ) = / 2 מעלת הפולינומים במונה ובמכנה היא זהה . מקדם החזקה הגבוהה ביותר במונה הוא , 1 ובמכנה המקדם הוא , 2 לכן . lim f ( x ) = - כלומר , לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית . y = — 2 x- » ± 00 2 ודאו כי טענה זאת נכונה בדרך המוכרת של חלוקת המונה והמכנה בחזקה הגבוהה ביותר שלהם . נתבונן עתה בפונקציות שבהן המונה והמגנה הם פולינומים ממעלה שונה , ונבדוק ביצר הן מתנהגות באינסוף . נתחיל בפונקציות שבהן מעלת המכנה גדולה מזו של המונה . דוגמה f ( x ) = : 'ז 2 x -l שורשי המכנה הם x = 1 ו- x = 1 ערכים אלה אינם מאפסים את המונה , לכן קיימות שתי אסימפטוטות אנכיות : הישרים x = 1 ו- . x = 1
|
|