|
|
עמוד:97
3 2 5 ניתן להציג את הפונקציה f ( x ) = x כמכפלת הפונקציות u ( x ) = x ו- v ( x ) = x = ^^^^^^^^^ r ! N 2 vrv מכפלת הנגזרות היא אבל ההשערה , אם כן , לא נכונה י נגזרת של מכפלה אינה שווה למכפלה של נגזרות הגורמים ) . זכרו , די בדוגמה נגדית אחת כדי להפריך השערה ( . אם כן , מהי הנגזרת של מכפלת הפונקציות ? f ( x ) = u ( x ) ? v ( x ) , . . ננסה לגלות את החוק בצורה שיטתית , על פי הגדרת הנגזרת : מחסרים ומחברים את הביטוי : u ( x ) -v ( x + h ) מפרקים לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף : נמצא את הגבול של ביטוי זה כאשר : h- » 0 הגורם u ( x ) אינו תלוי ב- , h לכן איננו מושפע מהמעבר לגבול , וברור כי , limv ( x + h ) = v ( x ) לכן h- > 0 מכאן נובע כי v' ( x ) v ( x ) + u ( x )• f ' ( x ) = u ' ( x )• הוכחנו : משפט 1 ( אם לפונקציות u ( x ) ו- v ( x ) יש נגזרות , כי אז גם לפונקצית המכפלה f ( x ) = u ( x ) ? v ( x ) 1 יש נגזרת והיא v v + u v ) ' = u ' ( u נחזור לדוגמה x = x 2 ? x נסמן : u ( x ) = x v ( x ) = x 2 u' ( x ) = 2 x v' ( x ) = 3 x : in ^^^^^^ ^ 3 2 2 4 4 4 ואמנם 3 x = 2 x + 3 x = 5 x 1 u' -v + u -v ' = 2 x-x + x
|
|