|
|
עמוד:81
4 . 2 אי-תלות כהנחה מראש בדוגמאות שבסעיף הקודם , התשובה לשאלה האם שני מאורעות מסוימים הם בלתי תלויים התקבלה בעזרת חישוב הסתברויות מסוימות ובדיקה אם הן מקיימות שוויונות מסוימים . בין שימושיו של המושג אי-תלות נפוץ דווקא התהליך ההפוך : שיקולים מסוימים מביאים אותנו למסקנה שיש להניח B-1 A- \ y בלתי תלויים , ובעקבות הנחה זו נדע שההסתברות של המשותף היא מכפלת ההסתברויות של . B- ; A איזה סוג של שיקולים יביא אותנו להניח אי-תלות של שני מאורעות ? בתחילת הסעיף הקודם אמרנו B-w אינו תלוי A-n אם המידע "קרה '' A אינו משפיע על הסתברותו של . B למשל , בכיתה ש- 1 / 3 מתלמידיה בנים ו- 2 / 3 בנות , מגרילים נציג לאירוע כלשהו . בהנחה שלכל תלמידי הכיתה יש אותה הסתברות לעלות בהגרלה , ההסתברות של המאורע "נבחר בן" ( מאורע שנקרא לו ( A היא . 1 / 3 נניח עתה שמחצית הכיתה גילם מעל . 16 אם נערוך הגרלה נוספת , ההסתברות של המאורע " בהגרלה השנייה נבחר מישהו שגילו מעל " 16 ( שיסומן ( B היא . 1 / 2 אילו ידענו שבהגרלה הראשונה נבחר בן , האם הייתה הסתברותו של B משתנה ? אין ספק שגם לאור המידע "בהגרלה הראשונה נבחר בן , " ההגרלה השנייה עדיין מקנה הסתברות שווה לכל התלמידים לעלות בהגרלה , ועדיין מחציתם מעל לגיל . 16 כלומר , לא רק ( P ( B ) = l / 2 אלא גם . P ( B / A ) = l / 2 ניתוח המצב מאפשר לנו להסיק שהמאורעות B-1 A הם בלתי תלויים . כעת נוכל להסיק מעובדה זו שמתקיים השוויון 1 / 2 = 1 / 6 1 P ( B ) = 1 / 3 . P ( AnB ) = P ( A ) לבן שווה ל- . 1 / 2 ההסתברות ששני צדי הקלף שנבחר הם לבנים היא , 1 / 3 כי יש קלף אחד ויחיד בין השלושה ששני צדיו לבנים . אך < 1 / 2-1 / 2 * 1 / 3 על כן המאורעות "הצד הגלוי לבן" ו"הצד הנסתר לבן ' 1 אינם בלתי תלויים . עובדה זו מתבטאת גם בכך שההסתברות המותנית של האחד בהינתן השני , שהיא 1 3 = 1 / 3 : 1 / 2 = 2 / ( הגלוי לבן ) ק / ( שניהם לבנים = ?( ( הגלוי לבן / הנסתר לבן ) ק אינה שווה להסתברות המקורית של אותו מאורע , דהיינו ל- . 1 / 2 כעת נשנה את הדוגמה על ידי הוספת קלף נוסף שצדו האחד שחור והשני לבן , כך שבסך הכול יהיו בידינו 4 קלפים . ההסתברויות של המאורעות "הצד הגלוי לבן" ו"הצד הנסתר לבן" הן עדיין , 1 / 2 מאותה סיבה כמו קודם . ההסתברות למשותף "שני הצדדים לבנים , " לעומת זאת , היא כעת , 1 / 4 ומכיוון ש- , 1 / 2-1 / 2 = 1 / 4 הרי שבנתונים החדשים המאורעות הם בלתי תלויים . תכונה שימושית של אי-תלות היא העובדה שאם B- ) A הם בלתי תלויים , אז גם A ו- B בלתי תלויים , וכך גם B- ; A וגם A ו- B ( ר' תרגיל . ( 13
|
|