|
|
עמוד:41
ד . ההסתברות המותנית של X בהינתן מאורע שהוא מסקנה של : X מקרה מעניין נוסף הוא המקרה ( ההפוך לקודם ) שבו , Xc A כלומר , המקרה שבו אם קורה המאורע X שאת הסתברותו אנו רוצים לדעת - אז A חייב לקרות ; או במילים אחרות : A הוא מסקנה של X כיצד משפיע המידע שקרתה מסקנה של על הסתברותו של X עצמו ? ובכן , אס ^ , XnA = X wXc ולכן נקבל . P ( X / A ) = ^^? P ( A ) roDnn חיובי ואינו גדול , 1-מ ולכן . P ( X / A ) > P ( X ) אנו נוכחים לדעת שהמידע שקרתה מסקנה של X מגדיל את ההסתברות של X עצמו . בדוגמה הבאה נראה כמה מהמקרים המיוחדים הנ"ל . דוגמה : יהי X המאורע '' פלוני נמצא היום באנגליה . " למאורע "פלוני בישראל" A 1 = נקבל , P ( X / A 1 ) = 0 כי A 1 זר ל ^ ן למאורע "פלוני בלונדון" A 2 = נקבל , P ( X / A 2 ) = 1 כי A 2 גורר את X למאורע "פלוני באירופה" A 3 = לא נדע את P ( X / A 3 ) בלי נתונים נוספים , אך נדע שהסבירות של X יכולה רק לגדול לאור הנתון , A 3 כלומר A o , P ( X / A 3 ) > P ( X ) הוא מסקנה של X נחזור למקרה הכללי של הסתברות מותנית , ונראה שתי דוגמאות . דוגמה : 1 המהימנות של בדיקת איידס בבדיקה שגרתית לאיתור מחלת האיידס קיבל אדם מסוים תשובה חיובית ( כלומר , תשובה שפירושה שהוא נושא את וירוס המחלה . ( רופאו מסביר לו שהבדיקה מדויקת ב- 99 ° / 0 מהמקרים , כלומר הבדיקה נותנת ל- 99 ° / 0 מהנשאים תשובה חיובית , ול- 99 ° / 0 מהבריאים תשובה שלילית . כמו כן מציין הרופא , שבמדינה שכה הם גרים נושאים 0 . 5 ° / 0 מהאוכלוסייה את המחלה . מה ההסתברות שהאדם המדובר הוא אמנם נשא של המחלה ? נסמן A-2 את המאורע "האדם קיבל תשובה חיובית , " וב13- את המאורע "האדם הוא נשא . " אנו מעוניינים בעצם לדעת מהו , P ( B / A ) כלומר מה ההסתברות שהאדם הוא נשא כאשר ידוע לנו שתוצאת הבדיקה שלו חיובית . P ( A n B ) on p nnt' . P ( B / A ) = — ^— — : mn נחשב מהו , P ( BnA ) כלומר מה ההסתברות שאדם כלשהוא הוא נשא וגם קיבל תשובה חיובית . כיוון שידוע לנו ש- 0 . 5 ° / 0 מהאוכלוסייה נושאים את הווירוס , והבדיקה נותנת תשובה חיובית ל- 99 ° / 0 מהם , הרי שאחוז האנשים באוכלוסייה שהם נשאים וגם קיבלו תשובה חיובית , הוא , 0 . 5 ° / 0-99 ° / 0 = 0 . 495 ° / 0 ומכאן ש- . P ( BnA ) = 0 . 00495 נחשב עתה מהו , P ( A ) כלומר ההסתברות לקבל תשובה חיובית . ידוע לנו שתשובה חיובית מקבלים 99 ° / 0 מהנשאים ( שהם כאמור 0 . 5 ° / 0 מהאוכלוסייה ) ו- 1 ° / 0 מהבריאים ( שהם כאמור 99 . 5 ° / 0 מהאוכלוסייה ) ובסך הכול 99 . 5 ° / 0 = 0 . 495 ° / 0 + 0 . 995 ° / 0 ) 1 . 49 % 0 . 5 % + / % ( 99 ° / 0 מהאוכלוסייה , לכן P ( A ) הוא . 0 . 0149
|
|