|
|
עמוד:230
או בצורה אחרת ! ( הסבירו כיצד התקבלו השוויונות האחרונים (! בכך הוכחנו את המשפט הבא הנקרא משפט הסינוסים : משפט : צלעותיו של כל משולש פרופורציוניות לסינוסים של הזוויות שמולן . נבדוק מה המשמעות הגיאומטרית של השוויתים . ( 2 ) בלי הגבלת הכלליות נוכל להניח , כי a היא זווית חדה ( בכל משולש יש לפחות שתי זוויות חדות . ( כדי לענות לשאלה מהי המשמעות התכנית , נשאל את עצמנו sin a מהם כל המשולשים בעלי צלע משותפת a והזווית שממולה שווה ל. a מן הגיאומטריה ידוע , כי המשולשים האלה חסומים כולם במעגל ש- a משמשת לו כמיתר , וקדקודי הזוויות a נמצאים כולם בצד אחד של המיתר ( ראו ציור . ( בכל המשולשים האלה התבנית מקבלת אותו ערך . ניתן לשער כי sin a ערך זה קשור לרדיוס המעגל החוסם את המשולש . ואמנם , נבדוק את המשולש הפרטי שבו אחת הצלעות היא קוטר , ונמצא כי בו ( ולכן גם בשאר המשולשים ) . = 2 R sin a מסקנה i בכל משולש , ABC הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש . sin a נסכם : משפט הסינוסים : בכל משולש ABC מתקיים , = = = 2 R כאשר R הוא רדיוס המעל החוסם sin a sin P sin y את המשולש . שאלה . באיזה שלב ניצלנו את ההנחה כי a היא זווית חדה ? מדוע לא פגמנו בכך בכלליות ההוכחה ? מה קורה כאשר הזווית ? nnp a
|
|