|
|
עמוד:116
התרה ; נסרטט בעזרת מחשב את גרף הפונקציה . y = sin 2 \ מהגרף אפשר לשער שהמחזור הוא . n להלן נוכיח זאת . sin 2 \ מחזורית כי לכל מתקיים . sin 2 ( x + 271 ) = sin ( 2 x + 471 ) = sin 2 \ ? ? * פירוש שוויון זה הוא ש- sin 2 \ מחזורית ושמחזורה קטן או שווה . 271-ל נבדוק אם נוכל לקבל הערכה טובה יותר למחזור כלומר מספר a הקטן מ- 271 המקיים ו . sin 2 ( x + a ) = sin 2 \ נפשט ונקבל . sin 2 ( x + a ) = sin ( 2 x + 2 a ) = sin 2 \ ' שוויון זה בוודאי מתקיים אם , 2 a = 271 כלומר . a = n נסיק כי המחזור של sin 2 \ קטן או שווה ל- . 7 t נראה כי המחזור הוא בדיוק . 71 באופן כללי כאשר רוצים לקבוע את המחזור של פונקציה שידוע שהיא מחזורית , נוח לבחור נקודה מסוימת ולבחון מתי ערך הפונקציה המתקבל בנקודה זו חוזר על עצמו ולפי תוצאה זו לקבוע את אורך המחזור . במקרה שלפנינו נבחר את הנקודה . \ = 0 בנקודה זו ערך הפונקציה הוא 0 כי . sin 2-0 = 0 עתה עלינו לבדוק היכן הפונקציה מתאפסת בנקודות נוספות בקטע [ 0 , 71 ] ( שהרי המחזור הוא קטן או שווה ל- . { % בקטע זה הפונקציה מתאפסת בשתי נקודות נוספות 1 , n ( בדקו . (! האם — יכול להיות מחזור , כלומר האם מתקיים ; 1 sin 2 x + — = sin 2 x השוויון אמנם מתקיים עבור = \ 0 אך אינו מתקיים לכל , \ למשל כאשר x = — אגף שמאל של 4 . _ n . J ? K n \ . J 3 % \ . ( 3 n \ השוויון הוא sin 2— + — = s 1 n 2 — = sin - ? = - 1 ואלו אגף ימין — = 1 . sin 2 ולכן 4 U 2 J [ 4 ) U J . n . המחזור איננו יכול להיות . — האפשרות היחידה שנותרה היא . 7 t 2 במקרה זה מתקיים sin 2 ( x + 7 r ) = sin ( 2 x + 27 c ) = sin 2 x . ב . לא נטפל במקרים של פונקציות מהסוג f (\) = 5 המקיימות את התנאי f ( x + a ) = 5 לכל , a אך אין להן מחזור . ( אין a חיובי קטן ביותר המקיים זאת ( .
|
|