|
|
עמוד:410
הטיפול בבעיה שלפנינו דומה לזה שערכנו בחישוב השטח שמתחת הגרף של פונקציה אי-שלילית ומעל לציר ה . ^ נגדיר את V ( x ) כנפח של גוף הסיבוב בקטע . [ a , אחר כך נחשב את ^ , V ( x ) ולבסוף נציב ב- V ( x ) את b במקום . x תכונות פונקציה : V ( x ) א . V ( x ) אי-שלילית לכל x בקטע . [ a , b ] ב . V ( x ) מונוטונית עולה . ג . . V ( a ) = O במקום לחשב את V ( x ) ננסה לנהוג כמו בשעתו בחישוב השטח ונעסוק בנגזרת . V' ( x ) לשם כך V ( x ) -V ( x 0 ) נתבונן במנה — - —^ , כאשר היא ^ x-x 0 נקודה קבועה x-ו נקודה קרובה ל- x ( נניח כי , * . >* 0 כאשר x < x הטיפול דומה . ( המונה V ( x ) - V ( x 0 ) הוא נפח של גוף הסיבוב בקטע . [\ , ^| גוף זה הוא " שכבה" של הגוף המקורי . נסמן ב- ymjn וב- ymax את הערך המינימלי ואת הערך המקסימלי בהתאמה של הפונקציה המקורית f בקטע . [ x , x ] השכבה מכילה גליל שגובהו ( x-x 0 ) ורדיוס בסיסו . y השכבה מוכלת בגליל שגובהו ( x-x 0 ) ורדיוס בסיסו . y על כן : ^ yL - ( x-x o )< V ( x ) -V ( x o )< 71 y Lx - ( x-x o ) אחרי החילוק של שלושת האגפים ( x-x o ) -3 נקבל : V ( x ) -V ( x ) — < 1 ת 3 J mm X X ( 1 לכאשר \ שואף , ^ המנה האמצעית שואפת ל- . V' ( x ) בנוסף y -1 y שואפים שניהם max min 0 (\ 0 ) -ל י , 1 מכיוון ש- f פונקציה רציפה . 2 2 2 לכן : . V' ( x 0 ) = 7 rf ( x 0 ) nn ^ . Tcf ( x 0 )< V' ( x )< 71 f ( x 0 ) היות שזה מתקיים לכל נקודה , b-b a pi x 0 נוכל לכתוב \ 2 V' ( x ) = 7 rf ( x )
|
|