|
|
עמוד:347
ב . באינטגרל [ sin x ? cosxdx האינטגרנד הוא מכפלה של שתי פונקציות . 3 אחת מהן היא פונקציה מורכבת , f ( u ( x )) = sin x כאשר הפונקציה הפנימית שלה היא . u ( x ) = sin x הפונקציה השנייה במכפלה היא הנגזרת של הפונקציה הפנימית ! u' ( x ) = ( sin *) ' = cos * לכן האינטגרל גם כאן הוא מהצורה . {/( " (*)) ? u \ x ) dx בחישובי האינטגרלים מהסוג הזה נסתמך על המשפט הבא ; משפט אס פונקציה u ( x ) גזירה , לפונקציה f ( u ( x )) -u ' { x ) יש פונקציה קדומה בתחום מסוים , ולפונקציה f ( t ) יש פונקציה קדומה בתחום שהוא טווח של , u ( x ) אזי \ f { u { x )) -u \ x ) dx = \ f { t ) dt כאשר . t = u ( x ) הוגחת משפט F היא פונקציה קדומה של / בתחום של , / כלומר ? F' = f לפי נוסחת הנגזרת של פונקציה מורכבת ( כלל השרשרת ) ו . { F { u { x )) = F \ u ) -u \ x ) = f { u ) -u \ x ) לכן הפונקציה F { u { xj ) היא הפונקציה הקדומה של , f ( u ( x )) ? u ' { x ) זאת אומרת : . jf ( u ( x )) -u ' ( x ) dx = F ( u ( x )) + C מצד שני , אם נציב , t = u ( x ) נקבל : , F ( u ( x )) + C = F ( t ) + C = lf ( t ) dt כי הפונקציה F היא הפונקציה הקדומה של . / על כן : J /( w ( x )) ? u' ( x ) dx = \ f ( t ) dt כאשר . t = u ( x ) המשפט הוכח . השימוש במשפט זה נקרא אינטגרציה על ידי הצבה . אם לא יודעים כיצד לחשב את האינטגרל \ f ( u ( x )) ? u \ x ) dx בעזרת האינטגרלים המיידיים , אזי לפי המשפט ( 1 ) מציבים : במקום u ( x ) את , t ובמקום u' ( x ) dx את , dt ( ( 2 מחשבים את האינטגרל \ f ( t ) dt בעזרת טבלת האינטגרלים המיידיים . לדוגמה נחשב את האינטגרליס המופיעים בתחילת הפרק .
|
|