|
|
עמוד:318
תרגילים לסעיף 9 . 3 הדרכה : בתרגילים הבאים נתונות נקודות . בדקו מהו סוג קעירות הפונקציה בסביבת נקודות אלה והסיקו ממנו על המצב ההדדי שבין הפונקציה ובין הישר ( החותך או המשיק לגרף הפונקציה . ( . 1 א . מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה , x בנקודה . ^ = 1 3 ב . הוכיחו כי x - Jx + 2 > 0 לכל . x > 0 ג . האם אי-השוויון נכון גם עבור /* < 0 תשובה : א . ; y = Jx - 2 ג . . \ > 2 . 2 נתונה הפונקציה . f ( x ) = x א . מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה . x = 1 _ x 2 ב . הוכיחו : < x-l לכל . x > 0 x תשובה ; א . y = x- 1 . משוואת המשיק היא : g ( x ) = f ' ( a )( x a ) + f ( a ) ומתקיים . f ( b ) > g ( b ) כלומר : f ( b ) > f ' ( a )( b a ) + f ( a ) משני אי-השוויוניס * ו- " מקבלים : f ' ( a )( b a ) + f ( a ) < f ( b ) < f ' ( b )( b a ) + f ( a ) כלומר : f ' ( a )( b a ) + f ( a ) < f ' ( b )( b a ) + f ( a ) a * b לכן , f' ( b ) > f ( a ) כפי שהיה צריך להוכיח . הערה : אפשר "לראות" את ההוכחה . אי-שיוויון * משמעו שהנקודה ( b , f ( b )) נמצאת מתחת לישר העובר דרך הנקודה ( a , f ( a )) ושיפועו . f' ( b ) 1 tn u 1 u משמאל סרטטנו ישר זה בקו מודגש . 1 את אי-השוויון ** קיבלנו מהעובדה שהנקודה ( b , f ( b )) נמצאת מעל לישר העובר דרך הנקודה ( a , f ( a )) ושיפועו . f' ( a ) ישר זה מסורטט בקו מודגש . 2 מכיוון שהנקודה נמצאת בין שני הישרים , ברור הקשר בין שיפועי הישרים f ' ( b )> f' ( a )
|
|