עמוד:315

מלמטה ( מלמעלה ) בקטע גם לפי ההגדרה המיתרית . ולהפך , פונקציה שהיא קעורה מלמטה ( מלמעלה ) מיתרית בקטע היא גם קעורה מלמטה ( מלמעלה , ( על פי הגדרת הנגזרת . ההוכחה אינה קלה ואינה במסגרת הנלמד בספר זה . קיימת הגדרה נוספת לקעירות של פונקציה הנובעת ממיקומם של המשיקים לפונקציה ביחס לגרף . נתבונן בגרף של פונקציה קעורה מלמעלה ובכמה משיקים שלה . רואים כי כל המשיקים נמצאים מתחת לגרף הפונקציה , פרט לנקודות ההשקה . אס הפונקציה קעורה מלמטה כל המשיקים נמצאים מעל לגרף הפונקציה , פרט לנקודות ההשקה . נגדיר , אם כן , קעירות של פונקציה בקטע באמצעות המשיקים . הגדרה פונקציה מוגדרת קעורה מלמעלה בקטע ( כולל קרן או ישר , ( אם המשיק לגרף בכל נקודה בקטע נמצא מתחת לגרף , פרט לנקודת ההשקה . פונקציה מגדרת קעורה מלמטה בקטע ( כולל קרן או ישר , ( אם המשיק לגרף בכל נקודה בקטע נמצא מעל לגרף , פרט לנקודת ההשקה . הקעירות על פי הגדרה זו מכונה קעירות משיקית . כמו בהגדרת הקעירות המיתרית , אפשר להוכיח כי גם הקעירות המשיקית שקולה לקעירות המוגדרת על פי הנגזרת ( בסוף סעיף זה נציג הוכחה זו במסגרת . ( לפנינו , אם כן , שלוש הגדרות שונות לקעירות של פונקציה בקטע ? . קעירות נגזרתית ( על פי עלייה או ירידה של הנגזרת , ( קעירות מיתרית וקעירות משיקית . שלוש ההגדרות שקולות זו לזו . כלומר , אם פונקציה היא קעורה מלמעלה ( או מלמטה ) בקטע על פי אחת מההגדרות , כי אז היא גם קעורה מלמעלה ( או מלמטה ) בקטע על פי שתי ההגדרות האחרות . לכן נוכל לבחור בכל הגדרה בהתאם לבעיה שתעמוד לפנינו . נציין שוב כי שקילות ההגדרות אינה ברורה מאליה ודורשת הוכחה ( ההוכחה המלאה חורגת ממסגרת הנלמד בספר זה . ( נראה להלן חלק מהשקילות . המשיק לגרף בנקודת פיתול למדנו כי נקודת הפיתול היא הנקודה שבה עובר הגרף מסוג אחד של קעירות לסוג אחר . אם כן , מה מצבו של הגרף ביחס למשיק בנקודת הפיתול ? לאור הדברים שנאמרו ברור , כי אין לנקודת הפיתול סביבה שבה הגרף נמצא כולו מעל המשיק ( שכן הפונקציה אינה קעורה מלמטה בסביבה . ( כמו כן אין סביבה שבה הגרף נמצא כולו מתחת למשיק ( שכן הפונקציה אינה קעורה מלמעלה . ( בסרטוט מתוארת פונקציה בעלת נקודת פיתול ב- . xo xo rmpjn היא נקודת מעבר מקעירות למטה לקעירות מלמעלה . משמאל ל- x המשיק נמצא מעל לגרף , ומימין ל- - x מתחתיו .

האוניברסיטה העברית. המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט

ישראל. משרד החינוך


לצפייה מיטבית ורציפה בכותר