|
|
עמוד:265
התאימו לכל אחת מהפונקציות את גרף הנגזרת שלה ונמקו את בחירתכם . פתרון . 1 לפונקציה f יש נקודת קיצון אחת , מינימום , לכן הגרף יורד משמאלה ועולה מימינה . נחפש , אם כן , בין הגרפים של הנגזרות גרף בעל תכונות אלו ו יש לו נקודת אפס אחת , הוא שלילי משמאל לנקודה זאת וחיובי מימינה . הגרף המתאים הוא , כמובן , . 'ב . 2 אפשר גם להתחיל מגרף הנגזרת ולהתאים לה פונקציה . נתבונן בגרף הנגזרת . 'ג לנגזרת יש שתי נקודות אפס שבסביבתו היא משנה את סימנה , לכן לפונקציה המתאימה יש שתי נקודות קיצון . בנקודת האפס השמאלית הנגזרת משנה את סימנה משלילי לחיובי . לכן נקודת הקיצון השמאלית של הפונקציה המתאימה צריכה להיות נקודת מינימום . עתה כבר אפשר לשער כי הפונקציה המתאימה היא . g כשממשיכים לבדוק את ההתאמה מקבלים , כי נקודת האפס הימנית של הנגזרת מתאימה לנקודת מקסימום של הפונקציה . ואכן הפונקציה היחידה המקיימת תנאים אלה היא . g . 3 נותרו הפונקציה h וגרף הנגזרת . 'א נבדוק את ההתאמה ביניהם . לפונקציה h יש שתי נקודות קיצון פנימיות , לכן לגרף הנגזרת צריכות להיות שתי נקודות אפס שבסביבתו משתנה הסימן , ואכן גרף א' מקיים תנאי זה . ניווכח כי קיימת התאמה גם בסוג הקיצון . נקודת האפס הימנית של הנגזרת מתאימה לנקודת מינימום , כי הנגזרת משנה את סימנה משלילי לחיובי . מנימוקים דומים נקודת האפס השמאלית מתאימה לנקודת מקסימום . דוגמה ב' נתונה פונקציה f המוגדרת בתחום . ( 0 , 3 ) הסרטוט שלהלן מתאר את הפונקציה הנגזרת . f סרטטו סקיצה של גרף פונקציה . קיימות הרבה פונקציות בעלות אותה נגזרת - כל ההזזות האנכיות של f שצורתן . f ( x ) + c כדי למצוא פונקציה אחת שזו נגזרתה עלינו לגלות את תכונות הפונקציה 5 מתוך הנגזרת . נחפש תשובות לשאלות הבאות ו . 1 היכן עולה הפונקציה , והיכן היא יורדת ? . 2 האם יש לפונקציה נקודות קיצון , ואס כן , מהי מיקומן ומאיזה סוג הן ? . 3 כיצד נראה גרף הפונקציה ? פתרון . 1 הגרף מלמד אותנו כי הנגזרת שלילית בתחום , ( 0 , 1 ) לכן הפונקציה f יורדת בתחום זה . הנגזרת חיובית בתחום , ( 1 , 3 ) ובו הפונקציה עולה . . 2 בנקודה x = 1 הנגזרת מתאפסת , לכן מהאמור לעיל נובע כי לפונקציה יש מינימום מקומי עבור . x = l . 3 גרף אפשרי של פונקציה f הוא הגרף המוצג משמאל ו את הצורה המדויקת של הגרף קשה לקבוע בדיוק . אמנם ידוע השיפוע של הפונקציה בכל נקודה , ואפשר לנסות
|
|