עמוד:219

V ( x ) היא פונקציה המתארת את נפח התיבה במונחים של מקצוע הבסיס . x נבדוק תחילה את תחום ההגדרה של . V ( x ) ממדי התיבה אינם מספרים שליליים , לכן יש לדרוש , x > 0 וגם . h > 0 , x < 7 . 5 < = h = 15-2 x > 0 לכן תחום הגדרת הפונקציה הוא . 0 < x < 7 . 5 ( אם . 5 \ -ד או x = 0 מתקבלת תיבה מנוונת שנפחה הוא . 0 ( נהוג לכלול את הקצוות בתחום ההגדרה כדי להבטיח קיום של מינימום ומקסימום מוחלטים ( . נחשב את הנקודות החשודות : V' ( x ) = 30 x -6 x 2 ; 30 \ -6 ^ = 0 6 x ( 5-x ) = 0 = > x , = 0 , x = 5 nnpn 2 זה נוח לבחון את סוג הקיצון בעזרת הנגזרת השנייה : V" ( x ) = 30-12 x 0 V" ( 0 ) = 30 > 0 V" ( 5 ) = 30 < לכן : x = 0 היא נקודת מינימום מקומי , ו- x = 5 היא נקודת מקסימום מקומי . נבדוק גם את הקצוות : ערך הפונקציה בקצות התחום הוא . v ( 0 ) = V ( 7 . 5 ) = 0 ערך זה הוא המינימום המוחלט של הפונקציה בתחום . לכן המקסימום המוחלט מתקבל בנקודת המקסימום המקומי . x = 5 ערכה המקסימלי של הפונקציה בתחום הוא . 125 במקרה זה . h = 15-2-5 = 5 תשובה ; ממדי התיבה שנפחה מקסימלי הם אלו ; גם אורך מקצוע הבסיס וגם הגובה הם 5 ס"מ ( כלומר התיבה היא למעשה קובייה . ( האם תמיד כדאי לבדוק את סוג הקיצון על ידי חישוב הנגזרת השנייה ! נבחן את שתי הדוגמאות הבאות . ד . בונים משולש שווה-שוקיים מחוט שאורכו 30 ס'ימ . מבין כל המשולשים האפשריים , איזה הוא בעל השטח הגדול ביותר ? פתרון : נסמן * -כ את השוק , על כן הבסיס הוא , 30 - 2 x ובעזרת משפט פיתגורס מקבלים כי הגובה לבסיס הוא 2 2 h = / x - ( 15-x ) = V 30 x -225 > פונקצית השטח היא s ( x ) = ( 15- x ) yl 30 x - 225 ותחום הגדרתה . f / tpmj 7 . 5 < x < 15 נמצא באיזו נקודה ערך הפונקציה הוא מקסימלי ( מדובר כמובן במקסימום מוחלט . ( X ^ ' 30 5 נקודות האפס של הנגזרת : S' ( x ) = V 30 x -225 + - ^ 7 = 0 2 V 30 x -225 - ( 30 x -225 ) + 15 ( 15 x ) = 0 45 x = 450 = > x = 10 עתה יש לקבוע את סוג הקיצון . כפי שלמדנו , אפשר לעשות זאת בכמה דרכים . נתחיל בדרך שלמדנו זה עתה , כלומר באמצעות הנגזרת השנייה .

האוניברסיטה העברית. המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט

ישראל. משרד החינוך


לצפייה מיטבית ורציפה בכותר