|
|
עמוד:214
תרגילים לסעיף 8 . 1 בכל התרגילים של סעיף זה נניח כי אנו עוסקים בפונקציות גזירות פעמיים ( אלא אם בן מצוין אחרת . ( 1 . נכון או לא נכון ? נמקו ! כשהפסוק שקרי הביאו דוגמה נגדית . א . אם x 0 , f" ( x o ) = 0 היא נקודת קיצון של . f' ( x ) ב . אם f עולה בנקודה . f' ( x o )> O m , x 0 ג . אם f יורדת בנקודה , xo אז . f' ( x o )< O ד . אם , f" ( x 0 ) > 0 אזי x 0 היא נקודת מינימום של . f ה . אם , f" ( x o )* O-1 f ( x o ) = O אזי x 0 היא נקודת קיצון של . f ו . ייתכן כי x 0 היא נקודת קיצון של , f גם אם לא מתקיים . f' ( x o ) = O בטוחים שלפונקציה יש נקודת מינימום או מקסימום . אם f " ( x o ) = O אין אנו יודעים אם יש לפונקציה נקודת קיצון ואיזה סוג היא . במילים אחרות ו , התנאי לקביעת סוג הקיצון על פי הסימן של הנגזרת השנייה הוא תנאי מספיק , אך לא הגרחי . נמחיש זאת בדוגמאות הבאות . דוגמאות : 4 f ( x ) = x . 1 אנו יודעים כי לפונקציה יש מינימום בנקודה . ( 0 , 0 ) נחשב את הנגזרת הראשונה 3 2 f ' ( x ) = 4 x f " ( x ) = 12 x והשנייה ' : x = 0 n f' ( 0 ) = 0 f " ( 0 ) = 0 למרות ש- x = 0 היא נקודת מינימום , הנגזרת השנייה אינה חיובית . 6 x f " ( x ) 3 x f ( x ) (( 2 f' ( 0 ) = 0 f" ( 0 ) = 0 למדנו כי לפונקציה זו אין נקודת קיצון וב- x = 0 היא עולה . נסיק , אם כן , כי כאשר f " ( x o ) = O אי אפשר לקבוע בדרך זו אם יש לפונקציה קיצון , ואם כן מה סוגו . במקרים אלה עלינו להיעזר בשיטות אחרות המוכרות לנו ו בדיקת ערכי הפונקציה משני צדי הנקודה החשודה או בדיקת סימני הנגזרת . נסכם את השלבים למציאת נקודות קיצון פנימיות של פונקציה שהיא גזירה פעמיים . ? א . גוזרים את הפונקציה ומוצאים את נקודות האפס של הנגזרת הראשונה - הנקודות החשודות . ב . גוזרים פעם שנייה ומציבים את הנקודות החשודות בנגזרת השנייה ! . 1 אם הנגזרת השנייה חיובית , הנקודה היא מינימום של הפונקציה . . 2 אם הנגזרת השנייה שלילית , הנקודה היא מקסימום של הפונקציה . . 3 אם גם הנגזרת השנייה מתאפסת בנקודה החשודה , יש לבחון את מגמת השתנות הפונקציה על ידי בדיקת סימן הנגזרת או על ידי חישוב ערכי הפונקציה משני צדי הנקודה .
|
|