|
|
עמוד:212
8 . 1 תנאי מספיק לקיום קיצון למדנו כי כאשר נתונה פונקציה , f ( x ) גזירה בסביבת נקודה x 0 ובה f' ( x 0 ) = O ייתכן שיש לפונקציה נקודת קיצון ב- . x 0 ראינו כי תנאי זה אינו מספיק וייתכן כי למרות קיומו אין 3 לפונקציה קיצון בנקודה . למשל = אם f ( x ) = x אז TN , f ' ( 0 ) = 0 x = 0 אינה נקודת קיצון , ' f-1 עולה שם . נכיר כעת כלי מתמטי המספק תנאי מספיק לקיום קיצון בנקודה חשודה ( כלומר , אם התנאי מתקיים כי אז יש לפונקציה נקודת קיצון . ( אם xo היא נקודת מינימום פנימית של פונקציה גזירה , f ( x ) קיימת סביבה של הנקודה שבה הפונקציה יורדת משמאל ועולה מימין לנקודה . הפונקציה גזירה , לכן קיימת סביבה של הנקודה x 0 כך שלכל x בסביבה ו f' ( x )< 0 < = x < x 0 f' ( x )> 0 < = x > x 0 ואילו בנקודה עצמה : f ' ( x o ) = O שימו לב : משמאל ל- x הנגזרת שלילית , ומימין ל- x היא חיובית . פירוש הדבר הוא כי הפונקציה הנגזרת . x 0 t \ 1 ) pto nbw f ' ( x ) אפשר לראות עובדה זו באופן מוחשי על ידי התבוננות כשיפועי המשיקים בסביבת : x 0 משמאל ל- xo השיפועים שליליים , הם הולכים וגדלים עד לנקודה x 0 שבה שיפוע המשיק שווה לאפס . מימין לנקודה זו שיפועי המשיקים חיוביים וגדלים . ניזכר במה שלמדנו לגבי הכיוון ההפוך : אם עבור פונקציה g ( x ) מתקיים , g' ( x o )> O כי אז g ( x ) עולה בסביבת . x 0 לכן אם הנגזרת של f ' ( x ) חיובית ב- , x אז f ' ( x ) עולה בסביבת . x 0 פרק : 8 קביעת סוג הקיצוו על ידי הנגזרת השנייה הנושאים בפרק א . תנאי מספיק לקיום קיצון ב . יישומים f חקירות פונקציות ובעיות קיצון ג . משפחות פרמטריות של פונקציות ד . הקשר בין גרף הפונקציה לגרף נגזרתה
|
|