|
|
עמוד:206
בלימודי הגיאומטריה האנליטית הכרנו דוגמאות לכך : 2 . 1 משוואה מהצורה . y = ex תיאורה הגרפי הוא פרבולה שציר הסימטרית שלה הוא ציר . x 2 2 2 . II משוואה מהצורה . x + y = 1 תיאורה הגרפי הוא מעגל . 2 2 x y . III משוואה מהצורה = 1 + 71 ^ . תיאורה הגרפי הוא אליפסה . a b 2 2 x y . IV משוואה מהצורה . r - — r = 1 תיאורה הגרפי הוא היפרבולה . a tr לגרפים אלה , ולרבים אחרים , יש משיקים בנקודות שונות על הגרף . כדי למצוא את משוואת המשיק לגרף נתון בנקודה עליו יש למצוא את שיפוע המשיק באותה נקודה . מכיוון שלעתים קרובות לא ניתן לפרש ( לרשום בצורה מפורשת ) את המשוואה , נלמד כיצד למצוא את הנגזרת בהצגה הסתומה . נסביר זאת באמצעות דוגמאות . דוגמאות 2 2 א . מהי משוואת המשיק למעגל x + y = 25 בנקודה ?( 4 , 3 ) הערה = כדי לקבוע נקודה ששיעוריה מקיימים משוואה סתומה צריך בדרך כלל לציין את שני השיעורים של הנקודה . כשעוסקים בפונקציה המצב שונה , מספיק לבחור את שיעור ה- x של נקודה , כי שיעור ה- y שלה נקבע באופן חד-ערכי על ידי הפונקציה . על כן מקובל באנליסה לומר " הנקודה "x = 4 בלי לציין את שיעור ה-ץ . 2 בדוגמה שלפנינו כאשר מציבים במשוואה , x = 4 מקבלים את המשוואה = 9 ץ , שיש לה שני פתרונות : . y = ± 3 כדי לחשב את שיפוע המשיק עלינו לגזור את המשוואה . נגזור כל אגף שלה בנפרד . בגזירת האגף השמאלי של המשוואה ניעזר בכתיב הדיפרנציאלי ( כדי לציין מהו המשתנה שלפיו גוזרים , ( ובגזירה של פונקציה מורכבת . נגזרת האגף השמאלי : ( 1 ) — ( x + y 2 ; = 2 x ) y + — 2 dx v dx ( הערה 1 הדיון שלנו נוגע רק לנקודות שבסביבה מסוימת שלהן אפשר לראות y-n פונקציה של . x למשל : בסביבת הנקודה A אפשר לראות ב-ץ פונקציה של , \ ובמקרה זה גם לכתוב את הנוסחה . ( 1 ) באותן נקודות שבהן y אינו פונקציה של x בסביבתן , למשל בסביבת הנקודה B ( -5 , 0 ) שבסרטוט , השיטה שתוארה למעלה אינה מתאימה ( . 2 היות ש- y הוא פונקציה של , ( y = y ( x )) \ המחובר y הוא פונקציה מורכבת של x . ( y = [ y ( x )] ) הפונקציה החיצונית היא , v ( y ) = y ונגזרתה שווה ל- . 2 y הנגזרת הפנימית היא כמובן , y לכן . — y = 2 y-y ' . LlA
|
|