עמוד:195

בחירה זו נובעת מכך שאנו רוצים להגדיר את כך' /* שההתאמה f ( x ) = Vx תהיה פונקציה , ככלומר שלכל x תתאים תמונה יחידה . אפשר היה , כמובן , לבחור >/^ את הערך השלילי ל- ~ שריבועו שווה אך מטעמי נוחות הוחלט להגדיר את Vx כמספר חיובי בלבד . Va הוא תמיד ^ 2 מספר אי-שלילי , לכן פתרונות המשוואה \ = 4 הם . xV 4 = 2 = / 4 = 2 .-ו י- . x = נרשום בקצרה : . x = ± 44 = + 2 הפונקציה f ( x ) = Vx מוגדרת עבור x > 0 והיא מקבלת ערכים אי-שליליים בלבד . גרף הפונקציה מוצג משמאל נגזלת הפונקציה 5 נניח כי הפונקציה mmf ( x ) = Vx ונחשב את נגזרתה על-פי כלל השרשרת . לשם כך נתבונן בשוויון . ( Vxj = x " אגף שמאל הוא הפונקציה , k ( x ) = ( Vx j זאת פונקציה מורכבת שבה f ( x ) = Vx היא הפונקציה הפנימית v ( f ) = f -1 היא הפונקציה החיצונית . נגזור את שני אגפי השוויון , ( Vx j = x על-פי כלל השרשרת . הנגזרת של אגף שמאל היא : 1 k ( x ) = 2 f - f' ( x ) = 2 Vx - f' ( x ) הנגזרת של אגף ימין היא הנגזרת של \ שהיא . 1 מקבלים את השוויון 2 Vx-f ( x ) = l לכן עבור x > 0 f ' ( x ) = 2 Vx כלל זה נכון רק עבור , x > 0 בנקודה x = 0 הפונקציה אינה גזירה . מתבנית הנגזרת f ( x ) = אפשר ללמוד על תכונות הפונקציה . 2 Vx . 1 התבנית חיובית לכל x > 0 לכן הפונקציה f עולה לכל x בתחום ההגדרה . . 2 בנקודה x = 0 התבנית אינה מוגדרת . כאשר \ הולך וקטן ושואף לאפס , ערך התבנית הולך וגדל בלי גבול ( מדוע . (? כלומר : שיפועי המשיקים לגרף הולכים וגדלים לאינסוף ככל שמתקרבים 5 בחרנו כאן ליישם את כלל השרשרת . אפשר , כמובן , לחשב את הנגזרת בצורות נוספות : א . באופן ישיר על ידי חישוב הגבול n lim— ! | K ^ : h- > 0 h " / x + h - Vx _ ( Vx + h - Vx / Vx + h + Vxj \ + h \ 1 I h h ( Vx + h + VJT ) h ( Vx + h + Vx" ) Vx + h + Vx " ^ ° 2 Vx " ב . על פי כלל המכפלה . רושמים Vx -Vx = x וגוזרים את שני אגפי המשוואה : = 1 ( = I ( Vx ( ( Vx )' = l = > 2 Vx - ( Vx + Vx )' Vx ( Vx ^ 2 Vx

האוניברסיטה העברית. המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט

ישראל. משרד החינוך


לצפייה מיטבית ורציפה בכותר