|
|
עמוד:190
דוגמאות : א . אם v = u J - ) u = x + Jx" - 11 2 4 3 5 4 2 4 3 ^ = ^ . ^ = 3 u - ( 5 x + 12 x ) = 3 ( x + 3 x -ll ) ( 5 x + 12 x ) dx du dx 3 ב . אם v = sin u 1 u = x + x 2 3 2 ( 3 x + 1 ) ( 3 x + 1 ) = cos ( x + x ) — = — ?— = cosu dx du dx בעזרת הכתיב החדש קל להרחיב את כלל השרשרת למספר רב יותר של רכיבים ו ומכאן ברור גם השם "כלל . "השרשרת ( שימו לב ! עצם כתיבת הכלל ליותר רכיבים אינה מוכיחה , כמובן , את נכונותו ליותר רכיבים ( . הוכחת כלל השרשרת לשלושה רכיבים : נתונה הפונקציה . f ( x ) = w { v [ u ( x )]} v [ u ( x )] היא פונקציה של , x לכן נסמן אותה , v [ u ( x )] = t (^ ואז . f ( x ) = w [ t (\)] 1 לפי כלל השרשרת לשני רכיבים : f ( x ) = w ' ( t ) -t ' ( x ) t ( x ) = v [ u ( x )] לכן לפי כלל השרשרת לשני רכיבים t' ( x ) = v' [ u ( x )] = v' ( u ) -u ' ( x ) ומכאן f ' ( x ) = w' ( v ) -v ' ( u ) -u ' ( x ) אפשר להרחיב את הוכחת כלל השרשרת למספר כלשהו של רכיבים באמצעות אינדוקציה מתמטית . נגזרות מסדר גבוה וסימונן אם f' ( x ) פונקציה גזירה , נגזרתה היא הנגזרת השנייה של , f וסימונה . f" ( x ) = [ f ( x )]\ f" ( x ) אם רושמים את הנגזרת של y = f ( x ) על ידי , f ' ( x ) = — y כי אז רושמים את הנגזרת השנייה G . X , f " ( x ) = — l--y : mm f bvy או בקיצור : . f " { x ) = — ^ dx dx v dx J בפרקים הבאים נראה את חשיבותה של הנגזרת השנייה . הסימון f ( 3 ) ( x ) מייצג את הנגזרת של . f" ( x ) זו הנגזרת השלישית של . f ( 3 )( x ) = [ f" ( x )] ' : f נהוג לסמן אותה גם בצורה . f ( 3 ) ( x ) = — \ dx אם גוזרים n פעמים פונקציה , f מקבלים את , f ( n )( x ) שהיא הנגזרת מסדר n
|
|