|
|
עמוד:171
הנגזרת של : f ( x ) עד כה חקרנו את הפונקציה - בעזרת f ללא שימוש בנגזרת , למעשה אין צורך להניח כלל ש- f גזירה כדי להסיק את התכונות של ,- מספיק להניח כי f פונקציה רציפה . ' אם נתון שהפונקציה f ( x ) היא פונקציה גזירה , כי אז גס g ( x ) = - גזירה בכל תחום שבו f ( x ) f ( x ) שונה מאפס , ונגזרתה היא . g' ( x ) = - \/ נטפל , אם כן , רק בענפים שבהם . f ( x ) * 0 [ f ( x ) J מתבנית הנגזרת ברור , כי בתחומים אלה סימני הנגזרות של f ושל g מנוגדים זה לזה . לכן אם f ' ( x 0 ) > 0 אז , g' ( x 0 ) < 0 כלומר אם f עולה בתחום כי אז g יורדת שם , ולהפך . יתר על כן , g' ( x ) = O בכל נקודה שבה f ( x ) = 0 ולכן כל הנקודות החשודות של f הן גם הנקודות החשודות של g ( בתנאי ש- . ( f ( x ) * 0 מכיוון שסימני הנגזרת של f ושל g בסביבת נקודת הקיצון מנוגדים זה לזה , הרי שכל נקודת קיצון של f היא נקודת קיצון של g ( פרט לאלו שבהן (( f ( x ) = 0 וסוג הקיצון של g הוא הפוך מזה של . f הע י י ש ' ם אתהניס " ' ( x ) # ך 8 , ( / j = בצייה f ( x ) W s ( , x ) ^ f' ( x w 8 ( x ) = f' T « eYx ) e' . ( x ) F ( x ) ונקבל rt •— . - ^ - ^ = הפונקציה הנגזרת g' ( x ) מתארת את קצב השינוי של , g ( x ) לכן התבנית * ± -L g ( x ) g ( x ) f ( x ) / y x ) מייצגת את קצב השינוי היחסי של הפונקציה . g ( x ) מאותה סיבה התבנית — ^ מתארת את קצב f ( x ) השינוי היחסי של הפונקציה . f ( x ) קיבלנו , אם כן , קשר בין קצב השינוי היחסי של f ( x ) ושל 1 ז . g ( x ) מה משמעות קשר זה ? f ( x ) התנהגות של ב- :+ 00 f ( x ) ראינו כי אם f ( x ) שואף לאפס , כאשר * שואף לאינסוף או למינוס אינסוף , כי אז הפונקציה 1 g ( x ) = שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף בהתאם לסימן של . f ( x ) וכאשר f ( x ) שואפת f ( x ) לאינסוף או למינוס אינסוף , כי אז שואפת לאפס ואז y = 0 אסימפטוטה אופקית . f ( x ) 1 כל הטענות נכונות גם fDN אינה רציפה , אך לא משנה את סימנה בתחום הנתון .
|
|