|
|
עמוד:150
דוגמה גי : f ( x ) = j — - x 4 ( 1 ) תחום הגדרת הפונקציה הוא . | x x * ± 2 J ( 2 ) המונה הוא פולינום ליניארי , ואילו המכנה הוא פולינום ריבועי . מכאן נובע כי lim f ( x ) = 0 X- > ± 00 לכן ציר x-n הוא אסימפטוטה אופקית . הנקודות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת הן x = 2 ו- icrrrt rtf כאשר מציבים ערכים אלה במונה מקבלים מספר שתה , 0-מ לכן שני הישרים x = 2 ו- = \ 2 הם אסימפטוטות אנכיות . ( 3 ) כאשר מציבים x = 0 מקבלים . f ( 0 ) = 0 פתרון המשוואה f ( x ) = 0 הוא , x = 0 לכן הראשית היא הנקודה המשותפת היחידה לצירים ולגרף הפונקציה . ( 4 ) הפונקציה היא אי-זוגית כי : f ( - x ) = - . — - = - — = f ( x ) ( -x ) 4 x 4 יכולנו גם להתבונן במונה ובמכנה . מכיוון שמונה הפונקציה הוא פונקציה אי-זוגית ואילו המכנה זוגי , ברור כי המנה אי-זוגית . ,, . l- ( x -4 ) -x-2 x x + 4 .-j = - — — : N > n n ^ p ^ n J 77 UJ ( 5 ) ך f ( x ) = 7 lx 4 ) I * 4 ) לכל x הנגזרת מקבלת ערכים שליליים , מכאן נובע כי לפונקציה אין כלל נקודות קיצון , והיא יורדת בכל אחד מהענפים שבהם היא מוגדרת . ( 6 ) כדי להקל על סרטוט הגרף ננתח את התנהגות הפונקציה בכל אחד מהענפים . א . . * < 2 היות שלפונקציה יש רק נקודת אפס אחת , ( 0 , 0 ) הרי שבתחום זה סימן הפונקציה קבוע . מספיק לבדוק את הסימן בנקודה אחת , למשל , f ( -3 )< 0 . x = 3 לכן בתחום x < -2 הפונקציה שלילית ויורדת . y = 0 אסימפטוטה אופקית לכן ? ב . ? . -2 < < \ 2 לפונקציה יש בתחום נקודת אפס והיא יורדת בכל התחום . x = 2 x = 2-1 אסימפטוטות אנכיות , לכן f ( x ) — > 00 ו- . lim f ( x ) = 00 ג . = > \ 2 בדומה לתחום x < 2 גם כאן אין לפונקציה נקודת אפס ולכן סימנה קבוע . על ידי חישוב ערך אחד רואים כי בתחום זה הפונקציה יורדת וחיובית y = 0 אסימפטוטה אופקית , לכן . lim f ( x ) = 00 x- > 2 * אפשר לנתח את סימן הפונקציה בכל ענף ישירות מהתבנית ו המונה חיובי לכל x > 0 ושלילי לכל . x < 0 המכנה חיובי עבור x < 2 או , * > 2 ושלילי עבור 2 < ^ < 2 המנה תהיה , אם כן חיובית עבור ו-2 < x < 0 . x > 2 היא תהיה שלילית עבור . 0 < x < 2 1 x < -2
|
|