|
|
עמוד:137
הערה נוח לבדוק קיום של אסימפטוטה בנקודת אי-הגדרה על ידי פירוק לגורמים וצמצום , בתנאי שהפירוק פשוט ויודעים לעשות זאת . אבל אם תהליך הפירוק והצמצום מסובך מדי , או שאינו יודעים לבצע אותו , הרי שהדרך השנייה היא המומלצת , אף שאינה הוכחה . דוגמה : 'ב רשמו תבנית של פונקציה רציונלית שיש לה שתי אסימפטוטות אנכיות : x = J פתרון לבעיה זאת יש כמובן הרבה מאוד פתרונות . מה משותף לכולם ? ברור כי המכנה של הפונקציה המבוקשת צריך להתאפס בנקודות x = 3 ו- . x = 1 לכן המכנה הוא כפולה של התבנית . ( x + l ) ( x-3 ) כדי להבטיח קיום של אסימפטוטות בנקודות x = 3 ו- x = l נבחר את המונה כך שלא יתאפס בנקודות אלה ( זהו תנאי מספיק , אם כי לא הכרחי . ( אפשר לבחור עבור המונה פונקציה שאינה מתאפסת כלל , או תבנית שאמנם מתאפסת , אבל לא בנקודות הנתונות . כל אחת מהפונקציות הרציונליות הבאות היא פתרון לבעיה . ודאו כי שלוש הפונקציות אכן מקיימות את תנאי הבעיה . דוגמה : 'ג מצאו פונקציה רציונלית שאינה מוגדרת בנקודה x = 2 ואין לה אסימפטוטה בנקודה זאת . פתרון לפונקציה רציונלית אין אסימפטוטה בנקודת אי-הגדרה אם אפשר לצמצם את הגורם המתאפס במכנה . מכיוון שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה x = 2 המכנה שלה הוא כפולה של . x- 2 ' ומכיוון שלפי תנאי הבעיה גורם זה מצטמצם , גם המונה הוא כפולה שלו . יש פונקציות רבות המהוות פתרון לבעיה . להלן שלוש דוגמאות ( ודאו כי תנאי הבעיה מתקיימים עבור כל אחת מהן ) ? שימו לב : לפונקציה k ( x ) אין אמנם אסימפטוטה בנקודה , x = 2 אבל יש לה אסימפטוטה בנקודה אחרת . באיזו נקודה ?
|
|