|
|
עמוד:123
הפונקציה עולה משמאל לנקודה החשודה ויורדת מימינה , לכן יש לה מקסימום מקומי בנקודה . ( 0 , 4 / 9 ) חשוב לשים לב : כשבודקים באמצעות טבלה את סוג הקיצון , ובוחרים נקודות משני צדי הנקודה החשודה צריך להקפיד לבחור אותן כך שאין ביניהן נקודות אי-הגדרה של הפונקציה . לפיכך כדי לבדוק את סוג הקיצון בנקודה החשודה x = 0 יש לבחור נקודות בקטע ( -3 , 3 ) ( קטע פתוח , שאינו מכיל את הקצוות . ( מניתוח הפונקציה עד כה ברור כי בתחום ( -3 , 3 ) צורת הגרף של הפונקציה היא , כפי שמוצג משמאל כיצד נראה גרף הפונקציה משמאל ל- 3 ומימין ל ? 3 ברור כי בתחומים אלה הפונקציה מוגדרת לכל , x ואין לה שם נקודות קיצון . על כן סימן הנגזרת בכל ענף אינו משתנה , וקל לבדוק אותו . די בבחירה של נקודה שרירותית בכל אחד מהתחומים האלה ובמציאת סימן הנגזרת . אם הנגזרת חיובית בנקודה שבחרנו , הפונקציה עולה בכל התחום הנתון , ואם היא שלילית בנקודה , כי אז הפונקציה יורדת בתחום . משמאל ל- 3 נבחר למשל את 10 ונציב בנגזרת . f ' ( -10 ) > 0 ולכן הפונקציה עולה בתחום .-3 > x מימין ל 3 נבחר , f' ( 100 )< 0 : x = 100 לכן f ( x ) יורדת בתחום . x > 3 פונקציה רציפה משנה את כיוונה מעלייה לירידה או מירידה לעלייה , רק כשהיא עוברת דרך נקודת קיצון . לכן אם הפונקציה מוגדרת בכל התחום ואין לה נקודת קיצון שם , סימן הנגזרת בתחום הוא קבוע , והפונקציה עולה בכל התחום או יורדת בו . כדי לקבוע את התנהגות הפונקציה מספיק לבדוק את סימן הנגזרת בנקודה אחת בתחום . אם הנגזרת חיובית , הפונקציה עולה בתחום הנתון , ואם הנגזרת שלילית , הפונקציה יורדת . דרך חלופית לקביעת עלייה או ירידה של פונקציה בתחום שבו הפונקציה מוגדרת ואין נקודות קיצון ו בוחרים שתי נקודות בתחום ( ישר , קרן או קטע , ( מחשבים את ערכי הפונקציה המתאימים ובודקים האם הפונקציה במגמת עלייה או במגמת ירידה . לפי ההסבר הקודם מגמה זאת נשמרת בכל התחום . נסכם את המידע בטבלה :
|
|