|
|
עמוד:117
6 . 2 התנהגות של פונקציה בסביבת נקודת אי-הגדרה כפי שכבר ציינו , תכונה מרכזית המאפיינת פונקציה רציונלית היא העובדה שעשויות להיות לפונקציות אלה נקודות אי-הגדרה - הנקודות שבהן המכנה מתאפס . דוגמה א' י \ הפונקציה f ( x ) = אינה מוגדרת עבור . x = 1 x-1 פירוש הדבר שתחום ההגדרה שלה מתחלק לשני ענפים שבכל אחד מהם הפונקציה מוגדרת ורציפה { x | x < l } : ו . { x | x > 1 } כיצד אם כן נראה הגרף של פונקציה כזו ? אם ברשותכם מחשבון גרפי או מחשב סרטטו את גרף הפונקציה ובדקו את התנהגותה בסביבת נקודת האי-הגדרה על ידי גרירת הסמן על הגרף לכיוון נקודת האי-הגדרה , מימין לנקודה ומשמאלה . נבחן את הנושא בכיוון ההפוך : נבחן תחילה את הפונקציה בכלים האלגבריים והאנליטיים המוכרים לנו ונסכם את ממצאי החקירה בסרטוט סקיצה של גרף הפונקציה . בטרם נגזור את הפונקציה ננסה לדלות מידע רב ככל האפשר מהתבנית , ובפרט ננסה להעריך את התנהגות הפונקציה בסביבת נקודת האי-הגדרה . קל לראות כי לפונקציה יש נקודת אפס יחידה . ( 0 , 0 ) היות שהמונה חיובי לכל x * 0 כי אז f ( x ) > 0 עבור , x > l ו- f ( x )< 0 עבור . x < l כדי לבחון את התנהגות הפונקציה בסביבת הנקודה x = 1 נתבונן בטבלת ערכים של הפונקציה בסביבה זו . ? על פי נתוני הטבלה ניווכח כי ככל שמתקרבים ל- 1 מימין ( דרך ערכים הגדולים מ- , ( 1 ערכי הפונקציה הולכים וגדלים . כאשר בוחרים ערכים הקרובים יותר ל- , 1 רואים כי ערכי הפונקציה גדלים ללא הגבלה ( במחשב או במחשבון גרפי קל ליצור טבלאות ערכים כאלה ולהיווכח בכך . ( ובכתיב מתמטי : lim f ( x ) = 00 או , f ( x ) ——> 00 כלומר הפונקציה שואפת לאינסוף , כאשר * שואף 1-ל מימין . התבנית x - > 1 מציינת את ההתקרבות של המשתנה l ^ x דרך מספרים גדולים . 1-מ כמו כן ניווכח מנתוני הטבלה ומנתוני טבלאות אחרות , כי ערכי הפונקציה הולכים וקטנים ללא הגבלה , כאשר מתקרבים 1-ל משמאל . נרשום זאת בכתיב מתמטי : lim f ( x ) = 00 או , f ( x ) - - » -00 כלומר הפונקציה x- > r X- > 1 שואפת למינוס אינסוף , כאשר x שואף 1-ל משמאל .
|
|