|
|
עמוד:83
4 . 3 מדוע חשוב לבדוק את תחום ההגדרה ל דוגמה 3 נתון מלבן ABCD שאורך צלעותיו 72 ס"מ ו 40 ס"מ . במלבן חסומה מקבילית MNPQ שקדקודיה על צלעות המלבן באופן ש , AP = 6-AN כמתואר בסרטוט . מסמנים AN = x מצאו עבור איזה ערך של x יהיה שטח המקבילית מקסימלי . פתרוו אם AP = 6 x , AN = x נרשום תבנית לפונקציה S ( x ) שתתאר את שטח המקבילית . שימו לב שניתן לחשב את שטח המקבילית כהפרש שבין שטח המלבן לבין השטחים של ארבעה המשולשים הפינתיים . לכן = 2 6 x - ( 40 - x ) ( 72 6 x ) = 12 x + 312 x 40-x S ( x ) = SABCD - 2 SANP - 2 SPBQ = 72 פונקצית השטח היא פונקציה ריבועית בעלת מקסימום , ולכן אם נגזור אותה ונשווה לאפס , נמצא את שיעורי נקודת המקסימום : S ' ( x ) = 24 x + 312 -24 x + 312 = 0 = > x = 13 כלומר , נקודת המקסימום של הפונקציה S ( x ) היא , \ = 13 ולכן השטח המקסימלי של המקבילית הוא . S ( 13 ) = 2028 האומנם ! נחשב את אורך הקטע AP כאשר מתקבלת המקבילית בעלת השטח המקסימלי : AP = 6 , AN = 6 , 13 = 78 אפשרות אחרת המתאימה למקרה זה היא להשתמש בתכונות הפונקציה ממעלה שלישית . צורת הגרף של פונקציה ממעלה שלישית שבה המקדם של ^ הוא חיובי , ויש לה שתי נקודות "חשודות" היא כמו בסרטוט המופיע פה . לכן הנקודה ה"חשודה" השמאלית , כלומר , x = - היא 6 נקודת מקסימום מקומי , והנקודה ה"חשודה" השנייה , x = - היא נקודת מינימום מקומי . כאשר מביאים בחשבון את תחום . a ההגדרה של הפונקציה ברור שהנקודה x = — היא נקודת מקסימום מוחלט . הנה גרף הפונקציה N ( x ) כאשר . a = 12 ( במקרים אחרים אפשר להשתמש גם בסימן הנגזרת כדי לקבוע את טיבן של הנקודות החשודות ( . ה . תשובה : נפח התיבה המתקבלת יהיה מקסימלי , כאשר צלע הריבוע הפינתי הוא - ( כלומר 6 ששית מצלע הריבוע הנתון . (
|
|