|
|
עמוד:66
נקודת קיצון של , f אז f ' ( c ) = 0 משפט זה נובע משני המשפטים שלעיל . ואכן , אילו הייתה הנגזרת ב- x חיובית ( שלילית , ( כי אז הייתה הפונקציה עולה ( יורדת ) ב- , x והנקודה x 0 לא הייתה יכולה להיות נקודת קיצון של . f דוגמה 1 האם f ( x ) = x + 2 x עולה או יורדת בנקודה ccqrrn התרה : סימן המספר f ' ( -l ) יקבע אם f עולה או יורדת בנקודה הנתונה . נחשב אותו . ? 2 f ' ( x ) = 3 \ + 2 f ( -l ) = l < 0 תשובה : f יורדת בנקודה . x = l שאלה : האם נכונים המשפטים ההפוכים ? כלומר , אם f עולה בנקודה , c האם אפשר לומר שהנגזרת חיובית בהכרח שם ? הדוגמה הבאה מראה כי המשפט ההפוך אינו נכון . דוגמה 2 3 הפונקציה f ( x ) = x עולה בנקודה , x = 0 כי f ( x ) > f ( 0 ) עבור , \> 0 ו- f ( x ) < f ( 0 ) עבור . x < 0 בכל זאת f ' ( 0 ) אינו חיובי . ואכן : f > = < = ' 1 ו- . f ' ( 0 ) = 0 תשובה : אם פונקציה עולה בנקודה , הרי אין זה הכרחי כי נגזרתה תהיה חיובית בנקודה זו . אך הנגזרת אינה יכולה להיות שם שלילית , כי אז הייתה f יורדת . לכן מתקבל המשפט ? . משפט : אם f עולה בנקודה c ( וגזירה שם , ( אז . f ' ( 0 ) > 0 באופן דומה מתקבל גם המשפט הבא משפט : 11 > f DN rn בנקודה c ( וגזירה שם , ( אז . f ' ( 0 ) < 0 סיכום המידע על עלייה וירידה של פונקציה משפטים : . 1 אם f m , f ' ( c ) > 0 עולה בנקודה . c . 2 אם , f ' ( c ) < 0 אז f יורדת בנקודה . c העדה . ? אם , f ' ( c ) = 0 אי אפשר להסיק מסקנות . משפטים הפוכים : . 1 אם f עולה בנקודה , c אז i ' ( 0 ) > 0 . 2 אם f יורדת בנקודה , c אז . f ' ( 0 ) < 0 בעזרת משפטים אלה נוכל עכשיו למצוא תחומי עלייה וירידה של פונקציה . דוגמה 3 2 מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה . y = 3 x + 5 התרה = אם , y ' > 0 הפונקציה בוודאי עולה . הנגזרת היא . y ' = 6 x y ' > 0 = > 6 x > 0 = ^> x > 0 אם , y ' < 0 הפונקציה בוודאי יורדת .
|
|